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数学 I の山場である二次関数。
特に最大値・最小値の問題は難しいですよね。
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学校の授業や定期試験でつまづいてしまった人、試験ではなんとかなったけれど忘れちゃった人…
二次関数をこれから勉強する人・勉強した人、全員必見です!
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まずは、定義域に全く制限がない二次関数の最大値・最小値を見ていきます。
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二次関数 の最大値・最小値を求めよ。
解答:
二次関数 のグラフは、 より、軸が直線 x = -1 で頂点が点 (-1, 2) の下に凸の放物線となります。
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また、y はいくらでも大きな値をとるため、【美品】Harris Tweed ハリスツイード ヘリンボーン テーラードジャケット くるみボタン L☆BEAMS ウール 古着 ヴィンテージ。
例題:
二次関数 の最大値・最小値を求めよ。
解答:
二次関数 のグラフは、 より、軸が直線 x = 2 で頂点が点 (2,3) の上に凸の放物線となります。
グラフからわかるように、この関数は x = 2 のとき最大値 3 をとります。
また、y はいくらでも小さな値をとるため、最小値は存在しません。
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次に、定義域が制限されている二次関数の最大値・最小値を調べます。
例題:
二次関数 において、定義域が次の場合の最大値と最小値を求めよ。
またそのときの x の値を求めよ。
(1)
(2)
解答:
与えられた二次関数は と変形できます。
(1) におけるこの関数のグラフは、下図の放物線の緑線部分です。
よって、
x = 3 のとき最大値 13
x = =1 のとき最小値 -3
となります。
(2) におけるこの関数のグラフは、下図の放物線の緑線部分です。
よって、
x = 4 のとき最大値 22
x = 2 のとき最小値 6
となります。
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これまでは、二次関数・定義域共に文字を含んでいませんでした。
次は定義域に文字を含む場合の最大値・最小値を考えます。
ここから難易度アップ! じっくり読んでいきましょう。
例題:
のとき、二次関数 の最小値を求めよ。
解答:
のグラフは、頂点が点 (2, 2) 、軸が直線 x = 2 の下に凸の放物線です。
しかし、a の値によって、 の範囲にグラフの頂点が含まれることもあれば、含まれないこともあるのです。
そこで、a の値によって次のように場合分けしてみましょう。
(i) のとき
におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。
したがって、x = a のとき最小値 となります。
(ii) のとき
におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。
したがって、x = 2 のとき最小値 2 となります。
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のとき x = a で最小値
のとき x = 2 で最小値 2
が答えです。
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次は、定義域ではなく関数自体(特に軸)に文字を含む場合について考えます。
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のとき、二次関数 の最小値を求めよ。
解答:
のグラフは、頂点が点 (a, 2) 、軸が直線 x = a の下に凸の放物線です。
ただし、a の値によって の範囲に頂点が含まれるか否かが変わります。
そこで、ここでも a の値によって次のように場合分けしましょう。
(i) のとき
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したがって、x = a のとき最小値 2 となります。
(ii) のとき
におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。
したがって、x = 2 のとき最小値 となります。
以上より、
のとき x = a で最小値 2
のとき x = 2 で最小値
となります。
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ここまで、二次関数の最大値・最小値について扱ってきました。
まとめとして、次の応用問題に挑戦してみましょう!
応用問題:
二次関数 の における最大値・最小値と、そのときの x の値を求めよ。
解答:
この二次関数は
定義域の始点も終点も定まっていませんが、幅が 2 であることだけは確定しています。
これまでの問題と異なり、複雑な場合分けが必要です。
<最大値>
まずは最大値から考えていきましょう。
(i) a+1 < 2 つまり a < 1 のとき
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したがって、x = a で最大値 をとります。
(ii) a+1 = 2 つまり a = 1 のとき
このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。
区間 の中心 x = a + 1 と二次関数のグラフの軸の方程式 x = 2 が一致しているので、区間の両端で y は同じ値となるのです。
したがって、x = 1, 3 で最大値 3 をとります。
(iii) a+1 > 2 つまり a > 1 のとき
このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。
したがって、x = a+2 のとき最大値 をとります。
<最小値>
次に最小値です。
(i) a+2 < 2 つまり a < 0 のとき
このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。
したがって、x = a+2 で最小値 をとります。
(ii) つまり のとき
このとき、 におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。
定義域内にグラフの頂点が含まれているので、文句なしでそこが最小点になります。
したがって、x = 2 で最小値 2 をとります。
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銀座店 クロムハーツ SALE フレアニー デニム パンツ インディゴブルー 29インチ におけるこの関数のグラフは、下の図の放物線の緑線部分です。
したがって、x = a で最小値 をとります。
以上をまとめると、応用問題の答えは次のようになります:
<最大値>
- a < 1 のとき、x = a で最大値
- a = 1 のとき、x = 1, 3 で最大値 3
- a > 1 のとき、x = a+2 で最大値
<最小値>
- a < 0 のとき、x = a+2 で最小値
- のとき、x = 2 で最小値 2
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特に重要なポイントを列挙すると次のようになります。
- 定義域に制限がなくても、最大値・最小値の双方が存在するとは限らない。
- 定義域に制限がある場合は、「定義域の端点」「頂点」に着目する。
- 定義域の端点と軸の距離に注意する。
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なぜ場合分けをしなければいけないのか。
場合分けの境界値はどうなるのか。
これらに注意して、問題を解いてみてください!
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コットン 100%・ホワイト地・半袖ポロシャツです。
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■ 胸ポケットなし・タグ付き・左胸にクロコワッペン・フロント2ボタン・
専用袋はありません。
未使用新品ですが、部分的にわずかなムラ・擦れ・キズ・ピンホール・
しわ・変色・ヨゴレなどがありえます。
■ サイズ : 2 日本サイズのS位です。
肩幅 約41.5cm
身幅 約47cm
袖丈 約19.2cm (半袖)
裾幅 約47.4cm
着丈 約67cm
(平置き素人採寸)
■ 素 材 : Cotton 100%
重量 約175g
製造国の記載はありません。
ややストレッチの効いたコットン素材です。
■ 未使用品ですが、採寸・撮影・保管時のわずかなキズ・よごれ・
擦れ等があり得ます。 ご理解の上、ご入札お願いいたします。
■ 包装・発送中に「しわ」になる場合がありますのでご了解下さい。
お色は、PC環境などにより写真とかなり異なることがあります。
[170B]
(34cm x 25cm x 厚さ3cmまでにしますので簡易包装になります。)
■ レターパック・ライト (全国一律)370円
■ レターパック・プラス (全国いちりつ)520円
■ ゆうパック (60サイズ)
[北海道] 1,320円 (北海道)
[ 東北 ] 990円 (青森、岩手、秋田、山形、宮城、福島)
[ 関東 ] 860円 (茨城、栃木、群馬、埼玉、千葉、東京、神奈川、山梨)
[ 信越 ] 860円 (新潟、長野)
[ 北陸 ] 760円 (富山、石川、福井)
[ 東海 ] 760円 (静岡、愛知、岐阜、三重)
[ 近畿 ] 760円 (滋賀、京都、大阪、奈良、和歌山)
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[ 中国 ] 760円 (鳥取、岡山、島根、広島、山口)
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[ 九州 ] 860円 (福岡、佐賀、大分、熊本、長崎、宮崎、鹿児島)
[ 沖縄 ] 1,320円 (沖縄)
■ ヤマト宅配便
[北海道] 1,540円 (北海道)
[北東北] 1,100円 (青森、岩手、秋田)
[南東北] 990円 (宮城、福島、山形)
[ 関東 ] 880円 (茨城、栃木、群馬、埼玉、千葉、東京、神奈川、山梨)
[ 信越 ] 880円 (新潟、長野)
[ 北陸 ] 770円 (富山、石川、福井)
[ 東海 ] 770円 (静岡、愛知、岐阜、三重)
[ 近畿 ] 770円 (兵庫、滋賀、京都、大阪、奈良、和歌山)
[ 中国 ] 770円 (鳥取、岡山、島根、広島、山口)
[ 四国 ] 880円 (香川、徳島、愛媛、高知)
[ 九州 ] 880円 (福岡、佐賀、大分、熊本、長崎、宮崎、鹿児島)
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